黃金比例與十二平均律

我們在視覺世界裡,發現了黃金比例1.618。這個數字不是隨便得來的,他是將一線段找出一分為二的分隔點,使得長段與短段的比例等於全長與長段的比例。而這個比例就是黃金比例。

美學家們發現,黃金比例出現在許多偉大的作品裡,包括金字塔,泰姬陵,帕特農神殿,斷臂的維納斯雕像,達文西最後的晚餐,蒙娜麗莎的微笑,維特魯斯人等等。而人體肚臍以上和以下的比例,鸚鵡螺紋,樹葉的葉脈,也是自然界黃金比例的傑作。

雖然有人因此推論美可以量化,但反對方則認為黃金比例根本是個無稽之談,就像1993年曾盛行的「莫札特現象」,認為多聽他的的音樂,可以讓小孩變聰明一樣。太多美麗的東西,其實不是按黃金比例的。

有趣的是,黃金比例的由來,並非視覺而是聽覺。數千年前,當畢達哥拉斯經過鐵匠店門口時,他發現金屬連續敲擊的噪音,居然因為偶有一定頻率的比例,而變得悅耳。仔細研究之後,他在視覺領域上發現了黃金比例。

而在音樂領域中,舉世奉為圭臬的12平均律,正是以等比的方式安排每一個音階的頻率, 使得12個半音之後,頻率剛好變成兩倍。換句話說,這不是一個正常的階梯,而是每階的高度總以等比呈現。雖非等距,但是人類的耳朵,卻認為這樣等比的音階很美。如此說來,12平均律,是否也可算是在聽覺世界的黃金比例呢。

耳朵居然把等比的頻率變成了漸進的音階,這表示我們的聽覺,其實是一個對數函數(logarithm function)的接收器。如果把同樣的道理應用在視覺上,假設我們的眼睛,對特定長度比例的形狀覺得美,那麼或許就可以解釋,黃金比例為何經常出現在偉大的作品中了。

但是為什麼聽覺和視覺,都對等比的現象特別有感,難道我們天生就是計算對數的高手?也許沒那麼複雜。以視覺為例,我們衹是把暫留的最後兩個信號加總,然後和新的信號相比。衹要預期的答案和新的信號相同,符合期待,我們就感覺到美。這不就解釋斐波那契(fibonacci)系列是構成黃金比例的基礎嗎?相信聽覺也有類似的系列。

各位還記得在「達文西密碼」這部電影中,第1個在地面上出現的謎語,就是斐波那契系列。接著是李奧納多達文西,然後是蒙娜麗莎。這不正暗示我們,達文西已經發現了美的密碼,就在斐波那契系列裡。而他所畫的蒙娜麗莎,正微笑地展示黃金比例的秘密。

蒙娜麗莎的微笑
圖片來源:https://kuangyaodm.org/web191115/

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作者:陳少君

經歷:
在矽谷創業20年,後因照顧父母回國服務。
曾任長鑫存儲CIO/VP
曾任資策會數教所資深總監
曾任台灣佳能資深技術總監
曾任浩鑫資深技術總監

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