我們所見到的民調(Public Opinion Poll)，無論是某議題的贊成或反對，或某人的支持與否，在公佈答案之後，往往都會加上標題的那句話：「在95%的信心之下，誤差3%」，為什麼呢？
任何一個非統計專家，其實都可以做簡易民調。衹要隨機找到一個具代表性的，1000人的有效樣本，對某一議題(或候選人)做贊成或反對的調查，信心和誤差就會如題目所述。
假設民調結果有530個人贊成(或支持)，那麼你就可以說，在95%的信心之下，有53%(=530/1000)的人支持此人或此法案，誤差在±3%。換句話說，根據這個樣本，民調的結果有95%的機率，是落在50 ~56%之間。其中50=53-3，而56=53+3。
您當然會問95%怎麼來的，誤差在正負3%又是怎麼回事？
簡單的說，我們就好比在丟1000次銅板(也就是做1000次伯努利實驗)，結果有530次是正面。換句話說，我們有0.53的機率是正面，而機率0.53就是樣本平均值。
我們利用二項分佈公式(Binomial Distribution)，計算出這個樣本平均值的標準差，公式是 SQRT(P×(1-P)÷N)，亦即0.53×(1-0.53)÷1000，然後再開根號，得到0.0158 = 1.58%，所以我們有了樣本平均值0.53，和樣本平均值標準差0.0158。
如果母體(總投票人口)夠大，我們可以假設真正的投票結果是個常態分佈。而根據常態分佈的扣鐘型分佈曲線，95%的數值，會落在樣本平均值的1.96個標準差之內如Fig-1(此為中央極限定理)。從以上這個例子，樣本平均值是0.53，1.96個標準差就是0.0158×1.96=0.031，大於3%一點點(這是否表示N=1000還不夠?)。
所以「在95%的信心之下，誤差3%」在此就是說，我們打了1000通民調電話，得到的P，其實是有95%的機會落在 (0.53-0.031，0.53+0.031)=(0.499, 0.561)，或者約距P=0.53 上下 3%的區間內。
但實際情況是，我們在做民調前並不知道P，但還是要先計算出合理的N(此處的N僅考慮型一誤差)，使得結果符合「在95%的信心之下，誤差3%」。現假設P=0.5(此為虛無假設)，標準差 x 1.96= 3%，套用
標準差 = SQRT(P×(1-P)÷N)，帶入後 0.03/1.96 = SQRT(0.5×(1-0.5)÷N)，得到 N=1068，換句話說，只要參與民調的有1068(或更多，愈多愈準)，我們可以說如果民調結果P落在(0.5-0.03，0.5+0.03)=(0.47, 0.53)，也就是誤差3%，我們有95%信心，P=0.5。
我們當然也可以將虛無假設訂為P=0.53，也就是前述的例子。需要的N是0.03/1.96 = SQRT(0.53×(1-0.53)÷N)，N = 1064 (約為1000)。
其實衹要隨機選取約1000人的樣本，而P接近0.5，代表95%信心的1.96個二項分佈標準差總是在3%左右。換句話說，95%的信心和3%的誤差是自然發生的。民調真正準確的關鍵，還是在於所取的樣本，是否真正是隨機樣本。市話號碼隨機產生的樣本，其實不見得隨機；街上隨便攔路人問，也不見得夠隨機；網站上的民調也不是。隨機真是個大學問。
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作者：陳少君
經歷：
在矽谷創業20年，後因照顧父母回國服務。
曾任長鑫存儲CIO/VP
曾任資策會數教所資深總監
曾任台灣佳能資深技術總監
曾任浩鑫資深技術總監