一次快篩陽性就是確診嗎?

幾乎所有的流行病專家現今都在玩統計,所以我們嘗試以統計學的觀點來看上述命題是否正確。
首先,假設在一個Covid-19感染率為1/1000的地區,我們有一種快篩試劑,他的靈敏度(Sensitivity)和特異度(Specificity)都是99%。阿飛覺得喉嚨癢覺得喉嚨癢,首次快篩為陽性,請問阿飛確診的機率是多少?
A. 99%,B. 90%,C. 49%,D. 9%
請注意,這題目可應用在任何疾病和試劑上,如癌症或肝炎,Covid-19只是一個可蹭熱度的例子。
我們所需要的參數,只有:1.疾病感染率,2.試劑靈敏度和,3.試劑特異度。

意外的答案

答案是,Covid-19 確診率的機會約 9%,而非直覺中的99%!但是如果第二次測試又是陽性確診率將變成約90%

欲知詳情,首先,一些定義

靈敏度(Sensitivity) :阿飛確診時,試劑測出為陽性的機率(Probability)
特異度(Specificity) :阿飛時沒被感染時,試劑測出陰性的機率(Probability)
以數學公式表達:
靈敏度 = P(陽性|確診)
特異度 = P(陰性|沒事) (註:1-特異度 = P(陽性|沒事) )
其中P(A|B)是條件機率,即是在B發生的情形下,A為真的機率
我們的目標,是根據前述事實,算出 P(確診|陽性)

貝氏定理介紹

條件機率:當B發生時,A(和B皆)發生的機率,記作:P(A|B),定義如下
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) (符號 ∩ 代表”且”,也就是 and)

貝氏定理:
P(B|A) = P(B∩A) / P(A)
= P(A∩B) /P(A)
= P (A|B) * P(B) / P(A)
亦即: P(B|A) = P (A|B) * P(B) / P(A)

因靈敏度和 P(確診) 皆為已知

靈敏度 = P(陽性|確診) = P(確診|陽性) * P(陽性)/P(確診)
想知道的的P(確診|陽性) = 靈敏度 * P(確診) / P(陽性)
(靈敏度 = 0.99和 P(確診) = 0.001 皆為已知)

所以,接著就是求P(陽性)

P(陽性) = P(確診且陽性)+P(沒事且陽性(也就是誤判))
P(陽性) = P(確診 ∩ 陽性) + P(沒事 ∩ 陽性)
= P(陽性|確診)* P(確診) + P(陽性|沒事) *P(沒事)
(因為P(陽性|沒事) = 1-P(陰性|沒事),P(沒事)= 1-P(確診)
= 靈敏度 * P(確診) + (1-P(陰性|沒事)* (1-P(確診))
= 靈敏度 * P(確診) + (1-特異度) * (1-P(確診))

(此時我們已有所有數值)

結論

P(確診|陽性) =靈敏度 * P(確診) / P(陽性)
P(陽性) = 靈敏度 * P(確診) + (1-特異度) * (1-P(確診)
代入數字
P(陽性) = 0.99 * 0.001 + 0.01* 0.999 = 0.00099 + 0.00999 約= 0.011
P(確診|陽性) = 0.99 * 0.001 / 0.011 = 0.09約=9%
連續第二次陽性時,先驗 P(確診)原先後驗的 P(確診|陽性)=0.09
P(確診|陽性) = (0.99 * 0.09) / (0.990.09 + 0.010.91) = 0.09/0.0991 約= 90%
連續第三次陽性時, P(確診|陽性) 約= 99.9%,應是確診

問:如在感染率 P(確診)=0.05的地區(台灣現約115萬/2300萬),第一次快篩陽,P(確診|陽性) 是否約= 84%?

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作者:陳少君

經歷:
在矽谷創業20年,後因照顧父母回國服務。
曾任長鑫存儲CIO/VP
曾任資策會數教所資深總監
曾任台灣佳能資深技術總監
曾任浩鑫資深技術總監

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